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侃侃古代文明的数学

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  • 作者:俗人无语 时间:2020-05-13 17:49
    (00)
    这个帖是《侃侃古代各文明的天文历法》的续篇。在盖《天文》楼的过程中,进一步感到古代天文和数学密不可分,缺了数学就不能说清楚天文。因此专门去搬砖凑成此楼。
    网上有句玩笑话:世界上只有两个国家,一个是中国,一个是外国。虽然是戏谑之言,不过对于古代文明的科学发展来说,也有几分道理。中国的科学是独立持续发展。而其他文明就不是这样的了,互相渗透、彼此继承,关系复杂。
    本楼以中华传统数学即算学为叙述主线,同时和其他文明的数学比较。历史比较一定要注意可比性,一个是时间接近,一个是发展阶段接近。内容也是按照这个原则来安排。
    俗人数学没学好,虽然汉字都认得,不过真实内容就很多看不明白,所以只对搬砖负责。定有不少错漏,欢迎高手拍砖。
    目录:
    (一)算学的形成期(商周先秦,公元前16世纪-公元前2世纪)
    1)中华算学
    *埃及数学
    *巴比伦数学
    *印度数学-1 吠陀时期
    【十进位值制】
    (二)算学发展期
    1)战国末-秦汉(秦:公元前221-前206,二汉:公元前206-公元220)
    *希腊数学
    2)三国魏晋到南北朝(公元220-公元581年):
    3)隋唐五代(581-960年)
    *印度数学-2 悉檀多时期
    4)宋元时期(960-1368年)
    *阿拉伯数学
    (三)算学停滞和转型时期(明、清(1368-1840年))
    1)明朝
    2)清朝
    *中古欧洲数学
    *科学革命,微积分
    (四)
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    作者:俗人无语 时间:2020-05-14 11:58
    (01)
    数学和天文学一道,是古代各种科学的带头科学。和其他科学相比,数学有特别的性质。它具有高度的抽象性、精确性和可靠性,同时还有一种简洁和形式完美的艺术美感。
    世界古代文明如中华、巴比伦、希腊、阿拉伯、印度和中古欧洲都有各自的数学。与其他数学相比,中国古代数学(算学)有这样特性:世界上持续时间最长;长期处于先进地位;实用主导。中国人首先发明创造了十进制记数、分数、小数、正负数运算方法;解联立方程组和高次方程曾遥遥领先。

    古代数学(算学)的发展与天学紧密相关。算学的进步往往是为了解决天学的计算问题,许多重要的算学家本身就是天学家。中国的算学与天学一样,具有浓厚的中国色彩,独特的概念和体系,与其他古文明截然不同。
    数学的基本对象是数(计算、算术和代数)和形(图形,几何)。传统算学长于计算,以研究数量关系为主,具有以归纳逻辑与演绎逻辑相结合的算法倾向。简单地说,中国算学重实用,轻抽象,重计算(代数),轻图形(几何)。直到明初以前,在数学(代数)的许多分支领域里,中国一直是遥遥领先的。但是始终未能迈出关键一步,走向科学形态的近现代数学。
    而希腊是以研究图形即空间关系为主,具有演绎逻辑的公理化倾向。希腊人认为数和形是思维的抽象,与实际物体没有联系。侧重几何,代数较差。
    传统数学以算法为中心,属于应用数学。注重解决实际问题,而且因中国人综合、归纳思维的决定,所以中国传统数学不关心数学理论的形式化。但这并不意味中国传统仅停留在经验层次而无理论建树。其实算学的算法中蕴涵着建立算法的理论基础。中国数学家习惯把数学概念与方法建立在少数几个不证自明、形象直观的数学原理之上,如代数中的“率”的理论,平面几何中的“出入相补”原理,立体几何中的“阳马术”、曲面体理论中的“截面原理”(或称刘祖原理,即卡瓦列利原理)等等。
    中华域外的文明也都有各自的数学。最古老的还是埃及和巴比伦数学,天才的希腊人吸取东方文明的成果,建立起影响深远的希腊数学。印度古代数学也是独立起源,受到希腊和中国的一些影响。阿拉伯数学是集大成的,综合和发展了波斯、希腊、印度和中华数学,水平较高。阿拉伯数学传播到中古欧洲,推动了欧洲数学的形成和发展。中古欧洲的数学原来是很落后的,13、14世纪开始急速发展,超越其他文明的高峰,在16、17世纪科学革命过程中进化成为近代-现代数学。而其他的数学就停止发展,被融合取代了。
    从文明历史的角度来看,世界数学可以粗略分为三个时期:萌芽时期(公元前6世纪之前)、古代数学(公元前6世纪-16世纪),近代-现代数学(17-18世纪科学革命开始-当代)。
    | 6楼 | | | | |
    作者:俗人无语 时间:2020-05-15 09:14
    关于n等分圆,我胡想了一个办法。首先按要求的实物大小画圆,然后计算周长,用公式πR。古代的工匠大概是直接拿一条绳子去量的。把周长除以n得到每一段弧长s。按照弧长s把圆周分为n份。这个是近似的,不过可以符合制作要求吧。
    还有一个办法,用量角器。古代罗盘的刻度很准,也可以制作量角器的吧。其实工匠制作的时候,肯定是反复摸索,然后做几个固定的分角器,不外是3、5、7、9、12、14等几种。
    如果完全按照几何画图的办法,只用圆规直尺,那我不记得数学老师有没有教了。请那些在木工房或者铸造作坊学数学的朋友说说怎么分吧。
    | 17楼 | | | | |
    作者:俗人无语 时间:2020-05-15 09:29
    (02)
    【链接】知乎网友summer Clover整理出中华数学的成就,多谢Summer Clover
    (1)十进位制记数法和零的采用。
    (3)几何思想起源。源于战国时期墨翟的《墨经》,比欧几里德(公元前330—前275)早100多年。
    (4)勾股定理(商高定理)我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。
    (5)幻方。我国最早记载幻方法的是春秋时代的《论语》和《书经》,而在国外,幻方的出现在公元2世纪,我国早于国外600多年。
    (6)分数运算法则和小数。中国完整的分数运算法则在《九章算术》(公元1世纪)已经出现。印度在公元7世纪才出现了同样的法则,并被认为是此法的“鼻祖”。我国早于印度500多年。中国运用最小公倍数的时间则早于欧洲1200年。运用小数的时间,早于欧洲1100多年。
    (7)负数的发现。这个发现最早见于《九章算术》,早于印度600多年,早于欧洲1600多年。
    (8)盈不足术。又名双假位法。最早见于《九章算术》中的第七章。在世界上,直到13世纪,才在欧洲出现了同样的方法,比中国晚了1200多年。
    盈不足术是我国古代计算盈亏类问题的一种算术方法,借有余、不足以求隐含之数。《九章算术?盈不足》:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四。问:人数、物价各几何?答曰:七人,物价五十三。”。
    在11—13世纪一些阿拉伯数学家的著作中,也出现了盈不足术,并称之为天秤术或契丹算法。当时阿拉伯人所说的“契丹”,即指中国,这也说明有可能源自中国。
    (9)方程术。线性方程组在古代称为方程,其解法称为方程术。最早出现于《九章算术》中,其中解联立一次方程组的方法,早于印度600多年,早于欧洲1500多年。在用矩阵排列法解线性方程组方面,我国要比世界其他国家早1800多年。
    (10)最精确的圆周率“祖率”。 南北朝时代的数学家祖冲之利用割圆术得出精确到小数点后7位的π值(公元466年)。这一纪录在世界上保持了一千年之久。命名为“祖冲之圆周率”,简称“祖率”。阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值,才打破祖冲之保持近千年的纪录。
    (11)等积原理。又名“祖暅”原理。保持世界纪录1100多年。等积原理是祖冲之的儿子祖暅(数学家、天文学家)在公元五世纪首先提出来,是对世界数学的杰出贡献。
    该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利﹝Bonavent uraCavalieri﹞发现,比祖暅晚一千一百多年。
    (12)二次内插法。隋朝天文学家刘焯最早发明,早于牛顿(公元1642—1727)1000多年。
    (13)增乘开方法。增乘开方法为中国古代数学中求高次方程数值解的一般方法,在现代数学中又名“霍纳法”。宋代数学家贾宪最早发明于11世纪,比19世纪英国数学家霍纳提出的时间早800年左右。
    (14)杨辉三角。杨辉三角形,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,实际上是一个二项展开式系数表。
    除了贾宪、杨辉,第二个发明者是法国的数学家帕斯卡(公元1623—1662),他的发明时间是1653年,比贾宪晚了近600年。
    (15)中国剩余定理。又称孙子定理,是中国古代求解一次同余式组的方法。这个方法最早见于《孙子算经》,1801年德国数学家高斯(公元1777—1855)在《算术探究》中提出这一解法,西方人以为这个方法是世界第一,称之为“高斯定理”,但后来发现,它比中国晚1500多年,因此为其正名为“中国剩余定理”, 它是数论中一个重要定理。
    (16)“天元术”,是中国古代求解数值高次方程的方法,出现在13世纪。早于世界其他国家300年以上。
    (17)招差术。招差术即高次内插法,是现代计算数学中一种常用的插值方法,也是高阶等差级数求和方法。从北宋起中国就有不少数学家研究这个问题,到了元代,朱世杰首先发明了招差术,使这一问题得以解决。在世界上,比朱世杰晚近400年之后,牛顿才获得了同样的公式。
    这位网友总结得很好。他还指出,有两个遗憾。
    1)绝大多数成就都没传播到全世界。受地理、文化因素影响,古代中国和世界的数学交流非常有限,也难以对世界数学的发展历程产生重大影响。
    2)公理化体系缺失。
    总的来说,中国古代的数学发展缺乏公理化体系。而这恰恰是从初等数学到高等数学发展的瓶颈。中国数学从一开始就没有向公理化发展的倾向,更多的是对某类具体问题的解法或者对某类规律的归纳。
    而西方数学家的代表人物欧几里得所做的最重要的工作可以说就是几何学的公理化。《几何原本》就是以数个不证自明的公理为基础的公理化体系的著作。这种方式建立起数学的和谐之美、简洁之美。对整个西亚欧洲科学影响十分深而且远。牛顿《自然哲学的数学原理》就是采用这种公理化体系的典范。对现象的描述,再把这类有规律的现象整理为最基本的数个公理、定律,再运用这些定律解释更复杂的现象。根本的便是万有引力定律,以及三大运动定律。以当时的水平来讲,这样就足以“预言万物的运动”了。
    【】
    | 18楼 | | | | |
    作者:俗人无语 时间:2020-05-16 11:07
    上面的引述是客观中肯的,中国确实取得骄傲的成就。只是在比较的时候有少少选择性遗忘。他没说领先多少年,只是说比别人早多少年。不过忘记了巴比伦的数学比我们早,希腊数学的繁荣也比我们早几百年。我们有些成绩比“西方”先进,其实是比欧洲先进,不过阿拉伯不比中国差。又如3),几何思想的起源比欧几里得早,这有一点点误导。欧几里得达到的水平,不但比墨翟高很多,而且是到明末才流传到中国的。如此可以说中国落后二千年?
    不过,有些文宣手法也是不足为怪的,无须深究。外国的学者也很有自我拔高的。
    算学本身就包含算术、代数和几何三方面。不要小看算术。古代数学很落后,小学的算术学好了差不多可以时光穿梭混个数学大师了。代数和几何也是中学的内容,高等数学基本没有。
    这里16项成果大多数是算术和代数,几何内容只有三四项。算学最卓越的成绩是解方程的天元术,属于代数。几何确实是较弱。古书算书不少了,大多数都是讲算术和代数的。专门讲几何的,好像只有《海岛算经》寥寥几本。
    数学有理论科学和应用科学的区分。理论几何又叫演绎几何、论证几何等,反正就是《几何原本》一个流派,没有分店。不但中国没有,其他国家也基本没有。具体内容,想想中学几何里的定义定理和证明就明白了。
    中国古代的数学定义,除了墨翟有几条之外,好像也举不出更多的例子。墨子没有推理和证明。不是说算学从来不做证明,勾股定理就有刘徽等人做了出色的证明。可惜例子也是屈指可数。所以,我们说中国没有几何学理论,完全符合历史事实。
    有些人硬说《几何原本》是洋人偷中国的,那是秀无知无没底线,倒立看历史,颠倒了。
    当然我们有应用几何,尤其是勾股定理和测量技术。工艺品的图案是不是几何?很多工艺大师估计都识字不多,从没有学过算书的。就是靠一代代摸索积累。可以说他们实际上掌握了一些几何知识。假如有人把这些经验写成文字,那就是应用几何学了,可惜历史上好像从来没有人专门写文章从数学上总结提升。请记住,只有写成文字的东西才跟科学沾边。
    有些网友坚持站队至上,有很多打死也不懂的知识黑洞。科学理论和技术是两回事,理科和工科不同,哲学和科学有差别,等等,他们是坚决不接受。那真是无解的问题。
    | 26楼 | | | | |
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    • 作者:俗人无语
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    • 开贴:2020-05-13 17:49
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